1/x^2+1, 問 ∮√x^2+1dx√x^2+1=t

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1/x^2+1, 問 ∮√x^2+1dx√x^2+1=t

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1/x^2+1, 問 ∮√x^2+1dx√x^2+1=t。t,xが混ざらないよう計算するのですよ。問 ∮√(x^2+1)dx

√(x^2+1)=t xとおいて求めよ

上記のような置き方でも解けるのならその解き方でもかまいません tとxが混ざりあい積分ができませんでした 1/x^2+1,。∫+ という形の積分は =θ と置換することで計算できる。と覚えて
おけばすぐに導出できます。 次回は √^+の積分をステップで分かりやすく
解説 を解説します。 サイト内検索ルートx^2+a^2の積分計算の2通りの方法。{^+^}分の1の積分公式,及び^+^の積分公式とその2通りの導出を
紹介します。マニアックな不定積分の問題公式に関しては,==
?? と置換することで導出することができます。計算の方針。∫√+
は「微分したものが外にある嬉しい形」なので積分できます。

不定積分∫√[xx+1]。∫√^- の積分をどうするかだと思います。 質問者さんは。おそらく。 /
^ – = ^ という式を思い浮かべて変数変換したんだと思いますが。
その方針だとうまく行かないですね。 実は。大学生であれば。不定積分の置換積分1。高校数学Ⅲの不定積分の置換積分について教科書レベルの基本の解説と演習問題
です.半角小文字で書きなさい。 ※ なお,このページに使用している
フォントで は, の , は の です。問題- ∫+ =
? + +√+√ = とおくと,+ = → = ? →
=

t,xが混ざらないよう計算するのですよ。√x^2+1=t-xx^2+1=t-x^2………=t^2-2tx+x^21=t^2-2txx=t^2-1/2tdx=t^2+1/2t^2 dt√x^2+1=t-x……………=t-t^2-1/2t……………=t^2+1/2t以上より、∫√x^2+1 dx=∫t^2+1/2t?t^2+1/2t^2 dt=1/4∫t+1/t^3+2/t dt=1/4t^2/2-1/2t^2+2logt +Cここで、t=x+√x^2+11/t=1/{x+√x^2+1}…=-x+√x^2+1t+1/t=2√x^2+1t-1/t=2xしたがって、t^2/2-1/2t^2=1/2t+1/tt-1/t=2x√x^2+1また、x≧0 のとき明らかに t0x0 のとき明らかに1/t0 ∴t0よって任意のxで t0以上より、∫√x^2+1 dx=1/2{x√x^2+1+log{x+√x^2+1} +C∫√x^2+1dxの解き方を、多くの参考書で、√x^2+1=t-xとおいて求めよ。という解き方が指示れていますが、その解き方は、解答の方針がハッキリしない、センスの悪い解き方と思います。∫√x^2+1dx 1を解く解答方針は、以下の様にして解くのが良いと考えます。x=t-1/t/2 2t0とする変数tを選ぶ事で、√x^2+1=√t-1/t^2/4+1=√t^2-2+1/t^2/4+1=√t^2+2+1/t^2/4=√t+1/t/2^2=t+1/t/2 3というように、式の根号を外せるようにします。そのようにtを選ぶならば、x=t-1/t/2,2x=t-1/t,0=t-2x-1/t0=t^2-2xt-1=t-x^2-x^2-1=t-x-√x^2+1t-x+√x^2+1,から、t-x=√x^2+1 が得られる。tの式をxの式に戻すときに使える式のt=x+√x^2+1 4が結果として得られる。式1に式2を代入して、xの式を全てtの式であらわす。先ず、式2から、dx=1+1/t^2/2dt=t-1/t/2tdt 5を得る。式1は:∫√x^2+1dx=∫t+1/t/2t-1/t/2tdt=1/4∫t+1/t^2/tdt=1/4∫t+2/t+1/t^3dt=1/4t^2/2+2logt-1/2t^2 +C 6式6に式4を代入して、xの式に戻す。t^2/2=x+√x^2+1^2/2=2x^2+1+2x√x^2+1/2,-1/2t^2=-1/2/x+√x^2+1^2=-1/2-x+√x^2+1^2=-1/22x^2+1-2x√x^2+1t^2/2-1/2t^2=2x√x^2+1,∫√x^2+1dx=1/2x√x^2+1+1/2logx+√x^2+1+CPS:違う問題の:∫√x^2-1dx 11を解く解答方針も、x=t+1/t/2 12t≧1とする変数tを選ぶ事で、√x^2-1=√t+1/t^2/4-1=√t^2+2+1/t^2/4-1=√t^2-2+1/t^2/4=√t-1/t/2^2=t-1/t/2 13というように、式の根号を外せるようにして解くのが良いと考えます。√x^2+1=t-xの両辺を2乗してxについて解く。x^2+1=t-x^2x^2+1=t^2-2tx+x^2x=t^2-1/2t部分積分A=∫√x^2+1dx =x√x^2+1-∫x^2/√x^2+1dx =x√x^2+1-∫x^2+1-1/√x^2+1dx =x√x^2+1-∫{√x^2+1-1/√x^2+1}dx =x√x^2+1-A+∫1/√x^2+1dx2A=x√x^2+1+∫1/√x^2+1dx A=1/2{x√x^2+1+∫1/√x^2+1dx}ここでB=∫1/√x^2+1dxとおく A=1/2{x√x^2+1+B}…①√x^2+1=t-xとおくと x^2+1=t-x^2 x=t^2-1/2t, t-x=t-{t^2-1/2t}=t^2+1/2t dx={t^2+1/2t^2}dtB=∫{2t/t^2+1}{t^2+1/2t^2}dt =∫1/tdt=logt=logx+√x^2+1…②②を①に代入 A=1/2{x√x^2+1+logx+√x^2+1}+C

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